Kvanttimekaniikka I, syksy 2011

Huom! Note!

Kokeet on tarkistettu, 2. välikoe oli jonkin verran haastavampi kuin ensimmäinen, mikä on otettu myös arvostelussa huomioon. Laskareiden ja välikokeiden tulokset tästä, arvosanat ovat tuota pikaa Oodissa.

Luennot (Lectures)

Keskiviikkoisin ja perjantaisin 10-12 Exactumin salissa B121. Ensimmäinen luento ke 7.9.
Wednesdays and Fridays 10-12 in the lecture hall B121 in Exactum. First lecture on Wed 7.9.

Luennoitsija: Mikko Vepsäläinen, Physicum huone C303, puh (09) 191 50673, email Mikko.Vepsalainen@helsinki.fi.

Luentoja skannattuna

Vaikka nämä ovatkin helposti saatavilla ja kopioitavissa/tulostettavissa, ei se käytännössä korvaa luennolla käyntiä.

I.1 Johdanto I.2-3 Yksi- ja kolmiulotteiset systeemit II. Yleinen formalismi III. Likiarvomenetelmät IV. Symmetriat V. Impulssimomentti VI. Identtiset hiukkaset VII. Ajasta riippuvat ilmiöt VIII. Sirontateoria

Sekalaisia luennolla näytettyjä kuvia.
21.10. luennon kertauskalvot..
Clebsch-Gordanin kertoimet ja käyttöohje. Vaihtoehtoisesti näitä voi hakea esim. Alphasta komennolla ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}].

Harjoitukset

Kolme ryhmää, joista yksi englanninkielinen.
Harjoitusajat: Torstaisin 8-10 ja 10-12 sekä perjantaina 8-10, kaikki ryhmät salissa D106.
Perjantain ryhmä on englanninkielinen.

Two exercise sessions in Finnish on Thu 8-10 and 10-12 and one in English on Fri 8-10, all in D106.

Assistentit: Teemu Rantalaiho ja Sharareh Majidi

Harjoitusten ratkaisut jätetään viimeistään torstaisin kello 8.15 A-siiven 2. kerroksen harjoituslokerikkoon.
Solutions should be handed in on Thursdays by 8:15 into the box in the 2nd floor A-wing lobby, solutions will be discussed in the exercise sessions.

Harjoitusten paino kurssin arvostelussa on noin 25%.

Tehtävät (Problem sets)

Harjoitus 1 Harjoitus 2 Harjoitus 3 Harjoitus 4 Harjoitus 5 Harjoitus 6 Harjoitus 7 Harjoitus 8 Harjoitus 9 Harjoitus 10 Harjoitus 11 Harjoitus 12 Harjoitus 13

Välikokeet (Exams)

Kokeen liitteenä jaettava kaavasto.

Oppikirjat

Kvanttimekaniikasta on lukemattomia oppikirjoja, jotka sopisivat kurssille, ja toisaalta kurssin asiat löytyvät lähes mistä tahansa oppikirjasta. Alla kuitenkin muutamia saatavilla olevia ja kohtuuhintaisia nimekkeitä. Luennot eivät seuraa tarkasti minkään kirjan asiajärjestystä.

Muuta kirjallisuutta (vähän pitemmälle menevää)

Matemaattista taustaa

Luentojen kulku:

Viitteellinen, muuttuu varmasti kurssin kuluessa.
7.9.
Järjestäytyminen. Kurssin sisältö.

I. AALTOMEKANIIKKA
I.1. Johdanto
a) Aaltofunktio: Todennäköisyystiheys, tilojen superpositio [CM 1.2, M 1.1, Gr 1.1-4].

9.9.
b) Observaabelit ja operaattorit: Impulssioperaattori, odotusarvo ja klassinen vastaavuus; hermiittisen operaattorin ominaisfunktioiden tärkeimmät ominaisuudet: ortogonaalisuus ja täydellisyys. Odotusarvo ominaistilojen kehitelmässä, mittausten tulkinta [CM 1.2, M 1.2, R 4.1-3, (Gr 3.3)]. Impulssiesitys vs. paikkaesitys [CM 1.2, M 1.2, 2.6].
c) Lisää tasoaalloista, laatikko- ja deltafunktionormitus.
14.9.
d) Kanoniset kommutaatiorelaatiot ja Heisenbergin epämääräisyysperiaate [CM 1.1, 1.4, M 3.1-3, R 4.4-5, (Gr 1.6)].
e) Ajasta riippumaton ja ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö, tilan aikakehitys, operaattorin odotusarvon aikakehitys [CM 1.3, M 1.3, R 4.6, Gr 2.1].
f) Todennäköisyyden säilyminen ja jatkuvuusyhtälö.

I.2. Yksiulotteisia sovellutuksia
a) Suorakulmainen potentiaalikuoppa: Aaltofunktion ja sen derivaatan asettamat ehdot, parilliset ja parittomat aaltofunktiot, energiaominaisarvot suorakulmaisessa potentiaalikuopassa [CM 1.6.1, M 2.1, R 2.4, Gr 2.6]

16.9.
b) Deltafunktiopotentiaali: reunaehdot Schrödingerin yhtälön integroinnista [CM 1.6.2, Gr 2.5].
c) Yksiulotteisen potentiaalivallin läpäisy: Sironnan reunaehdot, heijastus- ja läpäisykertoimet [M 2.2, CM 1.7.2 (huom. CM:ssä läpäisyn amplitudi on 1+A), R 2.5, Gr 2.6].
d) Harmoninen oskillaattori: Hermiten yhtälö ja polynomit, nollapiste-energia [M 2.7, Arfken 13.1, R 2.6, Gr 2.3.2].
21.9.
I.3. Kolmiulotteinen systeemi
a) Keskeispotentiaali: Kulmamuuttujien ja radiaalimuuttujan separointi, radiaalinen Schrödingerin yhtälö [CM 5.2, M 2.5.1, R 3.3, Gr 4.1.1,3], Legendren yhtälö ja polynomit, pallofunktiot [M 2.3.1, CM 4.8, Schiff 14, Arfken 12, Gr 4.1.2].
23.9.
b) Pallosymmetrinen potentiaalikuoppa: Vapaan hiukkasen radiaalinen yhtälö, Besselin yhtälö ja funktiot [Esim. Schiff 15, Arfken 11.7, Gr 4.1.3]. Kuopan energiatilat.
28.9.
c) Vetyatomi: Coulombin potentiaali Schrödingerin yhtälössä, ratkaisu sarjamenetelmällä, Laguerren polynomit, energiat ja aaltofunktiot [CM 5.3, M 2.5.2 (hyvin lyhyt), Arfken 13.2, R 3.4, Gr 4.2]. Muutama esimerkki.
30.9.
II. KVANTTIMEKANIIKAN YLEINEN RAKENNE
II.1. Tilat ja observaabelit
Tila-avaruus (tilavektorit) ja sen operaattorit, Diracin merkintä.
5.10.
II.2. Kommutointi
Kommutoivat ja kommutoimattomat operaattorit, kvanttimekaniikan postulaatit [CM 2.1-2,2.4, M 12.1-3,12.6, R 4, Gr 3.3]

II.3. Aikakehitys
Schrödingerin yhtälö, aikakehitysoperaattori ja sen spektraaliesitys.

II.4. Takaisin aaltomekaniikkaan
Paikan ominaistila, aaltofunktio ominaistilojen skalaaritulona, aaltomekaniikan suureita ja tuloksia formaalin tila-avaruuden suureista [CM 2.3, 2.5, M 12.4].

II.5. Tiheysoperaattori ja -matriisi
Puhdas ja sekatila, odotusarvot tiheysmatriisin ja observaabelimatriisin tulon jälkinä [CM 2.6].

7.10.
II.6. Harmoninen värähtelijä operaattoriformalismissa
Nosto- ja laskuoperaattorit ja niiden kommutaatiorelaatiot, spektri yleisestä algebrasta, matriisiesitys, matriisimekaniikka [CM 3, M 12.5, R 4.8, Gr 2.3].
12.10.
III. SIDOTTUJEN TILOJEN LIKIARVOMENETELMÄT
III.1. Häiriöteoria
a) Ei-degeneroitunut tapaus: Energian ja tilojen häiriökehitelmät, 1. ja 2. kertaluku [M 7.1, CM 6.2, R 7.1, Gr 6.1].
14.10.
Esimerkkejä: anharmoninen värähtelijä [CM 6.3], heliumin perustila [M 7.2].
b) Degeneroitunut tapaus: Oikeiden häiritsemättömien tilojen valinta, häiriön diagonalisointi [M 7.3, CM 6.4, R 7.2, Gr 6.2], Starkin ilmiö [CM 6.5].
19.10.
III.2. Variaatiomenetelmä
Perustilan energia H:n odotusarvon minimi, parametrisoidun aaltofunktion optimointi [M 8.1, CM 6.1, R 7.3, Gr 7.2], vedyn perustila [M 8.2.1], heliumin perustila [CM 6.1, Gr 7.2].

III.3. Energian ja tilojen arviointi matriisin H diagonalisoinnilla

21.10.
Kaikki, mitä ei ehditty keskiviikkona.
Kertausta.
2.11.
IV. SYMMETRIAT
IV.1. Muunnokset
a) Inversio: Koordinaattien inversio, aktiivinen ja passiivinen tulkinta, funktion muunnos, inversioinvarianssi, pariteetti, pariteetin säilyminen, pallofunktioiden pariteetti [M 4.1].
b) Translaatio: Translaatioinvarianssi ja impulssin säilyminen [M 4.2].
c) Symmetria
d) Ryhmistä: Ryhmäaksioomat, Lien ryhmä, Abelin ryhmä, ryhmän esitys.

IV.2. Kierrot ja kiertoryhmä
Kiertomatriisi ja sen ortogonaalisuus, SO(3)

4.11.
IV.3. Kiertojen esitys
Kierron infinitesimaalinen virittäjä, kommutaatiorelaatiot, antisymmetrinen tensori, aaltofunktion muuntuminen, aaltofunktion kierron infinitesimaalinen generaattori ja äärellisen kierron operaattori, impulssimomentin määrittely kommutaatiorelaatioiden avulla. [M 4.3, CM 4.1-3,5].

V. IMPULSSIMOMENTTI
V.1. Impulssimomentin ominaisarvot ja -tilat
Nosto- ja laskuoperaattorit, kokonais- ja puolilukuiset impulssimomentin arvot, nosto- ja laskuoperaattorien matriisielementit [M 5.1-2,8, CM 4.4, R 5.4, Gr 4.3].

9.11
V.2. Spin
Spin-1/2 -tilat, spinorit, "spin ylös ja alas", Paulin spinmatriisit, Sy:n ominaistilat Sz:n ominaistilojen avulla, spinorien kierto. Annettua spinoria vastaavan spinin suunta. Spinistä riippuvat vuorovaikutukset [M 5.3, CM 4.6, R 6.1-3, Gr 4.4].
11.11.
V.3. Impulssimomenttien yhteenlasku
J=J1+J2 on impulssimomentti, J2:n ominaistilat. Kahden spin-1/2 -hiukkasen yhdistäminen: singletti ja tripletti [M 5.4-5, CM 4.7, R 6.6, Gr 4.4.3].

VI. IDENTTISET HIUKKASET
Hiukkasten samanlaisuus, symmetria vaihdossa, bosonit ja fermionit, Bose-Einstein- ja Fermi-Dirac-statistiikat.

16.11.
VI.2 Fermionisysteemit
Slaterin determinantti, Paulin kieltosääntö, kuorimallit ja jaksollinen järjestelmä [CM 9.1-3, M 4.4, R 10.4-5, Gr 5.1-2]. Esimerkkejä: (anti)symmetrisen tilan hiukkasten etäisyyden muutos, degeneraatiopaine.
18.11.
VII. AJASTA RIIPPUVAT ILMIÖT
VII.1. Tilan aikariippuvuus
Aikakehitysoperaattori, magneettinen dipoli vakiomagneettikentässä, ajasta riippuva potentiaali [M 9.1-2, R 8.1, (Gr 9.1)].

VII.2. Kvanttimekaniikan kuvat
Schrödingerin, Heisenbergin ja Diracin kuvat, Heisenbergin liikeyhtälö. Transitioamplitudi ajasta riippuvalla potentiaalilla [CM 8.1, M 9.3].

23.11.
VII.3. Ajasta riippuva häiriöteoria
Ajasta riippumaton potentiaali, Fermin kultainen sääntö, tilojen tiheys, oskilloiva häiriö [M 9.4, CM 8.2, Gr 9.2].
24.11.
VII.4. Varattu hiukkanen sähkömagneettisessa kentässä
Semiklassinen teoria, skalaari- ja vektoripotentiaali, minimaalisijoitus, Paulin yhtälö, vuorovaikutus säteilykentän kanssa, dipoliapproksimaatio.
30.11.
VIII. SIRONTATEORIAA
VIII.1. Johdantoa
Koejärjestelyt, elastinen ja epäelastinen sironta, vaikutusala [Gr 11.1].

VIII.2. Tasoaallon sironta
Reunaehdot aaltofunktiolle, asymptoottiset rajat, Lippmanin-Schwingerin yhtälö, sironta-amplitudi.

2.12.
VIII.3. Bornin approksimaatio
Sironta heikosta potentiaalista. Esimerkkejä: Yukawan potentiaali, elektronin sironta atomista [Gr 11.3].
7.12.
IX. KVANTTI-INFORMAATIO
Lomittuneet tilat. Kvanttikryptografia.
9.12.
Kvanttilaskenta, kvanttiteleportaatio. Piilomuuttujat ja Bellin epäyhtälöt.